# RWKV

## Resumen

El modelo RWKV (versión 4) se propuso en [este repositorio](https://github.com/BlinkDL/RWKV-LM)

Sugiere un ajuste en la atención del Transformer tradicional para hacerla lineal. De esta manera, el modelo puede usarse como una red recurrente: pasar las entradas de la marca de tiempo 0 y la marca de tiempo 1 juntas es lo mismo que pasar las entradas en la marca de tiempo 0 y luego las entradas en la marca de tiempo 1 junto con el estado de la marca de tiempo 0 (vea el ejemplo a continuación).

Esto puede ser más eficiente que un Transformer regular y puede manejar oraciones de cualquier longitud (aunque el modelo utilice una longitud de contexto fija para el entrenamiento).

Este modelo fue aportado por [sgugger](https://huggingface.co/sgugger). El código original se puede encontrar [aquí](https://github.com/BlinkDL/RWKV-LM).

## Ejemplo de uso

```python
import torch

from transformers import AutoTokenizer, RwkvModel

model = RwkvModel.from_pretrained("sgugger/rwkv-430M-pile", device_map="auto")
tokenizer = AutoTokenizer.from_pretrained("sgugger/rwkv-430M-pile")

inputs = tokenizer("This is an example.", return_tensors="pt").to(model.device)
# Feed everything to the model
outputs = model(inputs["input_ids"])
output_whole = outputs.last_hidden_state

outputs = model(inputs["input_ids"][:, :2])
output_one = outputs.last_hidden_state

# Using the state computed on the first inputs, we will get the same output
outputs = model(inputs["input_ids"][:, 2:], state=outputs.state)
output_two = outputs.last_hidden_state

torch.allclose(torch.cat([output_one, output_two], dim=1), output_whole, atol=1e-5)
```

Si desea asegurarse de que el modelo deje de generar cuando se detecta `'\n\n'`, recomendamos usar los siguientes criterios de parada:

```python
from transformers import StoppingCriteria

class RwkvStoppingCriteria(StoppingCriteria):
    def __init__(self, eos_sequence = [187,187], eos_token_id = 537):
        self.eos_sequence = eos_sequence
        self.eos_token_id = eos_token_id

    def __call__(self, input_ids: torch.LongTensor, scores: torch.Tensor, **kwargs) -> bool:
        last_2_ids = input_ids[:,-2:].tolist()
        return self.eos_sequence in last_2_ids

output = model.generate(inputs["input_ids"], max_new_tokens=64, stopping_criteria = [RwkvStoppingCriteria()])
```

## Notas

- Use padding izquierdo para la generación por lotes. Consulte [Lado de relleno](../llm_tutorial#padding-side).

## RwkvConfig[[transformers.RwkvConfig]]

#### transformers.RwkvConfig[[transformers.RwkvConfig]]

```python
transformers.RwkvConfig(transformers_version: str | None = None, architectures: list[str] | None = None, output_hidden_states: bool | None = False, return_dict: bool | None = True, dtype: str | torch.dtype | None = None, chunk_size_feed_forward: int = 0, is_encoder_decoder: bool = False, id2label: dict[int, str] | dict[str, str] | None = None, label2id: dict[str, int] | dict[str, str] | None = None, problem_type: Literal['regression', 'single_label_classification', 'multi_label_classification'] | None = None, vocab_size: int = 50277, context_length: int = 1024, hidden_size: int = 4096, num_hidden_layers: int = 32, attention_hidden_size: int | None = None, intermediate_size: int | None = None, layer_norm_epsilon: float = 1e-05, bos_token_id: int | None = 0, eos_token_id: int | list[int] | None = 0, rescale_every: int = 6, tie_word_embeddings: bool = False, use_cache: bool = True)
```

[Fuente](https://github.com/huggingface/transformers/blob/main/src/transformers/models/rwkv/configuration_rwkv.py#L25)

**Parámetros:**

vocab_size (`int`, *opcional*, valor predeterminado `50277`) : Tamaño del vocabulario del modelo. Define el número de tokens diferentes que pueden representarse mediante `input_ids`.

context_length (`int`, *opcional*, valor predeterminado 1024) : La longitud máxima de secuencia con la que se puede utilizar este modelo en una sola pasada (usarlo en modo RNN permite utilizar cualquier longitud de secuencia).

hidden_size (`int`, *opcional*, valor predeterminado `4096`) : Dimensión de las representaciones ocultas.

num_hidden_layers (`int`, *opcional*, valor predeterminado `32`) : Número de capas ocultas en el decodificador del Transformer.

attention_hidden_size (`int`, *opcional*) : Dimensionalidad de los estados ocultos de la atención. Si no se establece, el valor predeterminado será `hidden_size`.

intermediate_size (`int`, *opcional*) : Dimensión de las representaciones del MLP.

layer_norm_epsilon (`float`, *opcional*, valor predeterminado `1e-05`) : El epsilon utilizado por las capas de normalización de capas.

bos_token_id (`int`, *opcional*, valor predeterminado `0`) : Id de token utilizado para el inicio de la secuencia en el vocabulario.

eos_token_id (`Union[int, list[int]]`, *opcional*, valor predeterminado `0`) : Id de token utilizado para el fin de la secuencia en el vocabulario.

rescale_every (`int`, *opcional*, valor predeterminado 6) : Durante la inferencia, los estados ocultos (y los pesos de las capas de salida correspondientes) se dividen por 2 cada `rescale_every` capas. Si se establece en 0 o en un número negativo, no se realiza ningún reescalado.

tie_word_embeddings (`bool`, *opcional*, valor predeterminado `False`) : Si se deben vincular las incrustaciones de pesos según el mapeo `tied_weights_keys` del modelo.

use_cache (`bool`, *opcional*, valor predeterminado `True`) : Indica si el modelo debe devolver las últimas atenciones de claves/valores (no se utiliza en todos los modelos). Solo es relevante si `config.is_decoder=True` o cuando el modelo es un modelo generativo solo de decodificador.

Esta es la clase de configuración para almacenar la configuración de un RwkvModel. Se utiliza para instanciar un modelo Rwkv según los argumentos especificados, definiendo la arquitectura del modelo. Instanciar una configuración con los valores predeterminados producirá una configuración similar a la de [RWKV/rwkv-4-169m-pile](https://huggingface.co/RWKV/rwkv-4-169m-pile)

Los objetos de configuración heredan de [PreTrainedConfig](/docs/transformers/main/es/main_classes/configuration#transformers.PreTrainedConfig) y se pueden utilizar para controlar las salidas del modelo. Consulte la documentación de [PreTrainedConfig](/docs/transformers/main/es/main_classes/configuration#transformers.PreTrainedConfig) para obtener más información.

Ejemplo:

```python
>>> from transformers import RwkvConfig, RwkvModel

>>> # Initializing a Rwkv configuration
>>> configuration = RwkvConfig()

>>> # Initializing a model (with random weights) from the configuration
>>> model = RwkvModel(configuration)

>>> # Accessing the model configuration
>>> configuration = model.config
```

## RwkvModel[[transformers.RwkvModel]]

#### transformers.RwkvModel[[transformers.RwkvModel]]

```python
transformers.RwkvModel(config: RwkvConfig)
```

[Fuente](https://github.com/huggingface/transformers/blob/main/src/transformers/models/rwkv/modeling_rwkv.py#L487)

**Parámetros:**

config ([RwkvConfig](/docs/transformers/main/es/model_doc/rwkv#transformers.RwkvConfig)) : Clase de configuración del modelo con todos los parámetros del modelo. Inicializar con un archivo de configuración no carga los pesos asociados con el modelo, solo la configuración. Consulte el método [from_pretrained()](/docs/transformers/main/es/main_classes/model#transformers.PreTrainedModel.from_pretrained) para cargar los pesos del modelo.

El modelo Rwkv básico que genera estados ocultos sin ninguna cabeza específica en la parte superior.

Este modelo hereda de [PreTrainedModel](/docs/transformers/main/es/main_classes/model#transformers.PreTrainedModel). Consulte la documentación de la clase superior para los métodos genéricos que la biblioteca implementa para todos sus modelos (como la descarga o el guardado, el redimensionamiento de las incrustaciones de entrada, la poda de cabezas, etc.).

Este modelo también es una subclase de [torch.nn.Module](https://pytorch.org/docs/stable/nn.html#torch.nn.Module) de PyTorch. Úsalo como un módulo de PyTorch regular y consulta la documentación de PyTorch para todo lo relacionado con el uso y el comportamiento generales.

#### forward[[transformers.RwkvModel.forward]]

```python
forward(input_ids: typing.Optional[torch.LongTensor] = None, attention_mask: typing.Optional[torch.LongTensor] = None, inputs_embeds: typing.Optional[torch.Tensor] = None, state: list[torch.Tensor] | None = None, use_cache: bool | None = None, output_attentions: bool | None = None, output_hidden_states: bool | None = None, return_dict: bool | None = None, **kwargs)
```

[Fuente](https://github.com/huggingface/transformers/blob/main/src/transformers/models/rwkv/modeling_rwkv.py#L508)

**Parámetros:**

input_ids (`torch.LongTensor` de forma `(batch_size, input_ids_length)`) : `input_ids_length` = `sequence_length` si `past_key_values` es `None`, en caso contrario `past_key_values.get_seq_length()` (`sequence_length` de los estados de clave y valor pasados de entrada). Índices de los tokens de la secuencia de entrada en el vocabulario. Si se utiliza `past_key_values`, solo se deben pasar como `input_ids` aquellos `input_ids` que no tengan su pasado calculado. Los índices se pueden obtener mediante [AutoTokenizer](/docs/transformers/main/es/model_doc/auto#transformers.AutoTokenizer). Consulte [PreTrainedTokenizer.encode()](/docs/transformers/main/es/internal/tokenization_utils#transformers.PreTrainedTokenizerBase.encode) y [PreTrainedTokenizer.__call__()](/docs/transformers/main/es/internal/tokenization_utils#transformers.PreTrainedTokenizerBase.__call__) para obtener más detalles. [¿Qué son los input IDs?](../glossary#input-ids)

attention_mask (`torch.LongTensor` de forma `(batch_size, sequence_length)`, *opcional*) : Máscara para evitar realizar atención en los índices de tokens de relleno. Valores de la máscara seleccionados en `[0, 1]`:  - 1 para tokens que **no están enmascarados**, - 0 para tokens que **están enmascarados**.  [¿Qué son las máscaras de atención?](../glossary#attention-mask)

inputs_embeds (`torch.Tensor` de forma `(batch_size, sequence_length, hidden_size)`, *opcional*) : Opcionalmente, en lugar de pasar `input_ids`, puedes elegir pasar directamente una representación incrustada. Esto es útil si deseas tener más control sobre cómo convertir los índices de `input_ids` en los vectores asociados que en la matriz de búsqueda de incrustaciones interna del modelo.

state (`tuple` de cinco `torch.Tensor` de forma `(batch_size, hidden_size, num_hidden_layers)`, *opcional*) : Si se pasa, el modelo utiliza el estado anterior en todos los bloques (lo que dará la salida para los `input_ids` proporcionados como si el modelo añadiera `state_input_ids + input_ids` como contexto).

use_cache (`bool`, *opcional*) : Si se establece en `True`, se devuelve el último estado y puede usarse para generar rápidamente los logits siguientes.

output_attentions (`bool`, *opcional*) : Indica si se deben devolver los tensores de atención de todas las capas de atención. Consulte `attentions` en los tensores devueltos para obtener más detalles.

output_hidden_states (`bool`, *opcional*) : Indica si se deben devolver los estados ocultos de todas las capas. Consulte `hidden_states` en los tensores devueltos para obtener más detalles.

return_dict (`bool`, *opcional*) : Indica si se debe devolver un [ModelOutput](/docs/transformers/main/es/main_classes/output#transformers.utils.ModelOutput) en lugar de una tupla simple.

**Devuelve:** `RwkvOutput` o `tuple(torch.Tensor)`

Un `RwkvOutput` o una tupla de `torch.Tensor` (si se pasa `return_dict=False` o cuando `config.return_dict=False`) que comprende varios elementos según la configuración ([RwkvConfig](/docs/transformers/main/es/model_doc/rwkv#transformers.RwkvConfig)) y las entradas.

El método forward de [RwkvModel](/docs/transformers/main/es/model_doc/rwkv#transformers.RwkvModel) sobrescribe el método especial `__call__`.

Aunque la receta para la pasada hacia adelante debe definirse dentro de esta función, se debe llamar a la instancia de `Module` después, en lugar de a esta, ya que la primera se encarga de ejecutar los pasos de preprocesamiento y posprocesamiento, mientras que la segunda los ignora silenciosamente.

- **last_hidden_state** (`torch.Tensor` de forma `(batch_size, sequence_length, hidden_size)`, *opcional*) -- Secuencia de estados ocultos en la salida de la última capa del modelo.
- **state** (`list` de cinco `torch.Tensor` de forma `(batch_size, hidden_size, num_hidden_layers)`) -- El estado del modelo en el último paso de tiempo. Se puede utilizar en un método forward con los siguientes `input_ids` para evitar proporcionar los `input_ids` anteriores.
- **hidden_states** (`tuple[torch.Tensor, ...]`, *opcional*, se devuelve cuando se pasa `output_hidden_states=True` o cuando `config.output_hidden_states=True`) -- Tupla de `torch.Tensor` (una para la salida de las incrustaciones, si el modelo tiene una capa de incrustaciones, + una para la salida de cada capa) de forma `(batch_size, sequence_length, hidden_size)`.

  Estados ocultos del modelo en la salida de cada capa más las salidas opcionales de la incrustación inicial.
- **attentions** (`tuple[torch.Tensor, ...]`, *opcional*, se devuelve cuando se pasa `output_attentions=True` o cuando `config.output_attentions=True`) -- Tupla de `torch.Tensor` (una por cada capa) de forma `(batch_size, num_heads, sequence_length, sequence_length)`.

  Pesos de atención tras el softmax de atención, utilizados para calcular la media ponderada en las cabezas de autoatención.

## RwkvLMHeadModel[[transformers.RwkvForCausalLM]]

#### transformers.RwkvForCausalLM[[transformers.RwkvForCausalLM]]

```python
transformers.RwkvForCausalLM(config: RwkvConfig)
```

[Fuente](https://github.com/huggingface/transformers/blob/main/src/transformers/models/rwkv/modeling_rwkv.py#L667)

**Parámetros:**

config ([RwkvConfig](/docs/transformers/main/es/model_doc/rwkv#transformers.RwkvConfig)) : Clase de configuración del modelo con todos los parámetros del modelo. Inicializar con un archivo de configuración no carga los pesos asociados con el modelo, solo la configuración. Consulte el método [from_pretrained()](/docs/transformers/main/es/main_classes/model#transformers.PreTrainedModel.from_pretrained) para cargar los pesos del modelo.

El transformer del modelo RWKV con una cabeza de modelado de lenguaje en la parte superior (capa lineal con pesos vinculados a las incrustaciones de entrada).

Este modelo hereda de [PreTrainedModel](/docs/transformers/main/es/main_classes/model#transformers.PreTrainedModel). Consulte la documentación de la clase superior para los métodos genéricos que la biblioteca implementa para todos sus modelos (como la descarga o el guardado, el redimensionamiento de las incrustaciones de entrada, la poda de cabezas, etc.).

Este modelo también es una subclase de [torch.nn.Module](https://pytorch.org/docs/stable/nn.html#torch.nn.Module) de PyTorch. Úsalo como un módulo de PyTorch regular y consulta la documentación de PyTorch para todo lo relacionado con el uso y el comportamiento generales.

#### forward[[transformers.RwkvForCausalLM.forward]]

```python
forward(input_ids: typing.Optional[torch.LongTensor] = None, attention_mask: typing.Optional[torch.LongTensor] = None, inputs_embeds: typing.Optional[torch.Tensor] = None, state: list[torch.Tensor] | None = None, labels: typing.Optional[torch.LongTensor] = None, use_cache: bool | None = None, output_attentions: bool | None = None, output_hidden_states: bool | None = None, return_dict: bool | None = None, logits_to_keep: typing.Union[int, torch.Tensor] = 0, **kwargs)
```

[Fuente](https://github.com/huggingface/transformers/blob/main/src/transformers/models/rwkv/modeling_rwkv.py#L684)

**Parámetros:**

input_ids (`torch.LongTensor` de forma `(batch_size, input_ids_length)`) : `input_ids_length` = `sequence_length` si `past_key_values` es `None`, en caso contrario `past_key_values.get_seq_length()` (`sequence_length` de los estados de clave y valor pasados de entrada). Índices de los tokens de la secuencia de entrada en el vocabulario. Si se utiliza `past_key_values`, solo se deben pasar como `input_ids` aquellos `input_ids` que no tengan su pasado calculado. Los índices se pueden obtener mediante [AutoTokenizer](/docs/transformers/main/es/model_doc/auto#transformers.AutoTokenizer). Consulte [PreTrainedTokenizer.encode()](/docs/transformers/main/es/internal/tokenization_utils#transformers.PreTrainedTokenizerBase.encode) y [PreTrainedTokenizer.__call__()](/docs/transformers/main/es/internal/tokenization_utils#transformers.PreTrainedTokenizerBase.__call__) para obtener más detalles. [¿Qué son los input IDs?](../glossary#input-ids)

attention_mask (`torch.LongTensor` de forma `(batch_size, sequence_length)`, *opcional*) : Máscara para evitar realizar atención en los índices de tokens de relleno. Valores de la máscara seleccionados en `[0, 1]`:  - 1 para tokens que **no están enmascarados**, - 0 para tokens que **están enmascarados**.  [¿Qué son las máscaras de atención?](../glossary#attention-mask)

inputs_embeds (`torch.Tensor` de forma `(batch_size, sequence_length, hidden_size)`, *opcional*) : Opcionalmente, en lugar de pasar `input_ids`, puedes elegir pasar directamente una representación incrustada. Esto es útil si deseas tener más control sobre cómo convertir los índices de `input_ids` en los vectores asociados que en la matriz de búsqueda de incrustaciones interna del modelo.

state (`tuple` de cinco `torch.Tensor` de forma `(batch_size, hidden_size, num_hidden_layers)`, *opcional*) : Si se pasa, el modelo utiliza el estado anterior en todos los bloques (lo que dará la salida para los `input_ids` proporcionados como si el modelo añadiera `state_input_ids + input_ids` como contexto).

labels (`torch.LongTensor` de forma `(batch_size, sequence_length)`, *opcional*) : Etiquetas para el modelado de lenguaje. Tenga en cuenta que las etiquetas **se desplazan** dentro del modelo, es decir, puede establecer `labels = input_ids` Los índices se seleccionan en `[-100, 0, ..., config.vocab_size]` Todas las etiquetas establecidas en `-100` se ignoran (se enmascaran), la pérdida solo se calcula para las etiquetas en `[0, ..., config.vocab_size]`

use_cache (`bool`, *opcional*) : Si se establece en `True`, se devuelve el último estado y puede usarse para generar rápidamente los logits siguientes.

output_attentions (`bool`, *opcional*) : Indica si se deben devolver los tensores de atención de todas las capas de atención. Consulte `attentions` en los tensores devueltos para obtener más detalles.

output_hidden_states (`bool`, *opcional*) : Indica si se deben devolver los estados ocultos de todas las capas. Consulte `hidden_states` en los tensores devueltos para obtener más detalles.

return_dict (`bool`, *opcional*) : Indica si se debe devolver un [ModelOutput](/docs/transformers/main/es/main_classes/output#transformers.utils.ModelOutput) en lugar de una tupla simple.

logits_to_keep (`Union[int, torch.Tensor]`, *opcional*, valor predeterminado `0`) : Si es un `int`, se calculan los logits para los últimos `logits_to_keep` tokens. Si es `0`, se calculan los logits para todos los `input_ids` (caso especial). Solo se necesitan los logits del último token para la generación, y calcularlos únicamente para ese token puede ahorrar memoria, lo cual se vuelve bastante significativo para secuencias largas o un tamaño de vocabulario grande. Si es un `torch.Tensor`, debe ser de 1D y corresponder a los índices a conservar en la dimensión de longitud de secuencia. Esto es útil al usar el formato de tensor empaquetado (una sola dimensión para el lote y la longitud de secuencia).

**Devuelve:** `RwkvCausalLMOutput` o `tuple(torch.Tensor)`

Un `RwkvCausalLMOutput` o una tupla de `torch.Tensor` (si se pasa `return_dict=False` o cuando `config.return_dict=False`) que comprende varios elementos según la configuración ([RwkvConfig](/docs/transformers/main/es/model_doc/rwkv#transformers.RwkvConfig)) y las entradas.

El método forward de [RwkvForCausalLM](/docs/transformers/main/es/model_doc/rwkv#transformers.RwkvForCausalLM) sobrescribe el método especial `__call__`.

Aunque la receta para la pasada hacia adelante debe definirse dentro de esta función, se debe llamar a la instancia de `Module` después, en lugar de a esta, ya que la primera se encarga de ejecutar los pasos de preprocesamiento y posprocesamiento, mientras que la segunda los ignora silenciosamente.

- **loss** (`torch.Tensor` de forma `(1,)`, *opcional*, se devuelve cuando se proporciona `labels`) -- Pérdida de modelado de lenguaje (para la predicción del siguiente token).
- **logits** (`torch.Tensor` de forma `(batch_size, sequence_length, config.vocab_size)`) -- Puntuaciones de predicción de la cabeza de modelado de lenguaje (puntuaciones para cada token del vocabulario antes de SoftMax).
- **state** (`list` de cinco `torch.Tensor` de forma `(batch_size, hidden_size, num_hidden_layers)`) -- El estado del modelo en el último paso de tiempo. Se puede utilizar en un método forward con los siguientes `input_ids` para evitar proporcionar los `input_ids` anteriores.
- **hidden_states** (`tuple[torch.Tensor, ...]`, *opcional*, se devuelve cuando se pasa `output_hidden_states=True` o cuando `config.output_hidden_states=True`) -- Tupla de `torch.Tensor` (una para la salida de las incrustaciones, si el modelo tiene una capa de incrustaciones, + una para la salida de cada capa) de forma `(batch_size, sequence_length, hidden_size)`.

  Estados ocultos del modelo en la salida de cada capa más las salidas opcionales de la incrustación inicial.
- **attentions** (`tuple[torch.Tensor, ...]`, *opcional*, se devuelve cuando se pasa `output_attentions=True` o cuando `config.output_attentions=True`) -- Tupla de `torch.Tensor` (una por cada capa) de forma `(batch_size, num_heads, sequence_length, sequence_length)`.

  Pesos de atención tras el softmax de atención, utilizados para calcular la media ponderada en las cabezas de autoatención.

Ejemplo:

```python
```

## Atención de Rwkv y las fórmulas recurrentes

En un Transformer auto-regresivo tradicional, la atención se escribe como

$$O = \hbox{softmax}(QK^{T} / \sqrt{d}) V$$

donde $Q$, $K$ y $V$ son matrices de forma `seq_len x hidden_size` denominadas query, key y value (en realidad son matrices más grandes con una dimensión de batch y una dimensión de cabeza de atención, pero solo nos interesan las dos últimas, que es donde se realiza el producto de matrices, así que, por simplicidad, solo consideramos esas dos). El producto $QK^{T}$ tiene entonces forma `seq_len x seq_len` y podemos tomar el producto de matrices con $V$ para obtener la salida $O$ de la misma forma que las demás.

Sustituir el softmax por su valor da:

$$O_{i} = \frac{\sum_{j=1}^{i} e^{Q_{i} K_{j}^{T} / \sqrt{d}} V_{j}}{\sum_{j=1}^{i} e^{Q_{i} K_{j}^{T} / \sqrt{d}}}$$

Tenga en cuenta que las entradas de $QK^{T}$ correspondientes a $j > i$ están enmascaradas (la suma se detiene en j) porque la atención no puede mirar tokens futuros (solo pasados).

En comparación, la atención de RWKV viene dada por

$$O_{i} = \sigma(R_{i}) \frac{\sum_{j=1}^{i} e^{W_{i-j} + K_{j}} V_{j}}{\sum_{j=1}^{i} e^{W_{i-j} + K_{j}}}$$

donde $R$ es una nueva matriz llamada receptancia por el autor, $K$ y $V$ siguen siendo la clave y el valor ($\sigma$ aquí es la función sigmoide). $W$ es un nuevo vector que representa la posición del token y se da por

$$W_{0} = u \hbox{  y  } W_{k} = (k-1)w \hbox{ para } k \geq 1$$

con $u$ y $w$ como parámetros aprendibles, denominados en el código `time_first` y `time_decay` respectivamente. Tanto el numerador como el denominador pueden expresarse de forma recursiva. Si los denominamos $N_{i}$ y $D_{i}$, tenemos:

$$N_{i} = e^{u + K_{i}} V_{i} + \hat{N}_{i} \hbox{  donde  } \hat{N}_{i} = e^{K_{i-1}} V_{i-1} + e^{w + K_{i-2}} V_{i-2} \cdots + e^{(i-2)w + K_{1}} V_{1}$$

por lo que `numerator_state` (denominado `numerator_state` en el código) satisface

$$\hat{N}_{0} = 0 \hbox{  y  } \hat{N}_{j+1} = e^{K_{j}} V_{j} + e^{w} \hat{N}_{j}$$

y

$$D_{i} = e^{u + K_{i}} + \hat{D}_{i} \hbox{  donde  } \hat{D}_{i} = e^{K_{i-1}} + e^{w + K_{i-2}} \cdots + e^{(i-2)w + K_{1}}$$

por lo que `denominator_state` (denominado `denominator_state` en el código) satisface

$$\hat{D}_{0} = 0 \hbox{  y  } \hat{D}_{j+1} = e^{K_{j}} + e^{w} \hat{D}_{j}$$

La fórmula recurrente real que se utiliza es un poco más compleja, ya que, por estabilidad numérica, no queremos calcular exponenciales de números grandes. Normalmente, el softmax no se calcula tal cual, sino que se divide el exponencial del término máximo tanto del numerador como del denominador:

$$\frac{e^{x_{i}}}{\sum_{j=1}^{n} e^{x_{j}}} = \frac{e^{x_{i} - M}}{\sum_{j=1}^{n} e^{x_{j} - M}}$$

con $M$ el máximo de todos los $x_{j}$. Así que aquí, además de guardar el estado del numerador ($\hat{N}$) y el estado del denominador ($\hat{D}$), también seguimos el máximo de todos los términos encontrados en las exponenciales. Así que en realidad usamos

$$\tilde{N}_{i} = e^{-M_{i}} \hat{N}_{i} \hbox{  y  } \tilde{D}_{i} = e^{-M_{i}} \hat{D}_{i}$$

definidas por las siguientes fórmulas recurrentes:

$$\tilde{N}_{0} = 0 \hbox{  y  } \tilde{N}_{j+1} = e^{K_{j} - q} V_{j} + e^{w + M_{j} - q} \tilde{N}_{j} \hbox{  donde  } q = \max(K_{j}, w + M_{j})$$

y

$$\tilde{D}_{0} = 0 \hbox{  y  } \tilde{D}_{j+1} = e^{K_{j} - q} + e^{w + M_{j} - q} \tilde{D}_{j} \hbox{  donde  } q = \max(K_{j}, w + M_{j})$$

y $M_{j+1} = q$. Con esos, podemos calcular

$$N_{i} = e^{u + K_{i} - q} V_{i} + e^{M_{i}} \tilde{N}_{i} \hbox{  donde  } q = \max(u + K_{i}, M_{i})$$

y

$$D_{i} = e^{u + K_{i} - q} + e^{M_{i}} \tilde{D}_{i} \hbox{  donde  } q = \max(u + K_{i}, M_{i})$$

lo que finalmente nos da

$$O_{i} = \sigma(R_{i}) \frac{N_{i}}{D_{i}}$$